Container Icon

KERUCUT

Kerucut adalah sebuah bangun ruang yang terdiri sisi alas yang berbentuk lingkaran dan sisi lengkung yang selanjutnya disebut selimut kerucut.
Garis OA, OB, dan OC disebut jari-jari alas kerucut
Garis AB disebut diameter atau garis tengah alas kerucut.
Garis TO disebut tinggi kerucut. Garis TA dan TB, yaitu garis yang menghubungkan titik puncak kerucut dengan titik pada keliling alas disebut garis pelukis kerucut.


JARI-JARI KERUCUT
Gambar (i) berikut ini menunjukkan sebuah kerucut dengan panjang jari-jari alas r dan tinggi t. TQ adalah garis pelukis. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh TQ2 = t2 + r2 sehingga TQ = akar(t2 + r2 ).


 

Kerucut pada gambar (i) diiris menurut rusuk lengkung dan garis pelukis TQ, kemudian direbahkan sehingga menjadi bidang datar seperti ditunjukkan pada gambar (ii). Bangun datar yang terjadi disebut jaring-jaring kerucut.
Jaring-jaring kerucut terdiri dari sebuah lingkaran dan sebuah juring lingkaran yang berasal dari selimut kerucut dengan panjang busur pada juring = keliling lingkaran alas.

A. LUAS

Luas Permukaan Kerucut
Gambar (ii) adalah jaring-jaring selimut kerucut setelah kerucut pada gambar (i) diiris menurut garis pelukis s. ternyata, jaring-jaring selimut kerucut merupakan juring lingkaran dengan ukuran sebagai berikut
Panjang jari-jari = s (garis pelukis)
Panjang busur     = 2πr (keliling lingkaran alas)
Dengan memperhatikan gambar (ii), maka diperoleh perbandingan :

(Luas selimut kerucut)/(Luas lingkaran)=(Panjang busur)/(Keliling lingkaran)
(Luas selimut kerucut)/(πr2 )=2πs/(2πr)
Luas selimu kerucut=2πs/(2r x πr2)
Luas Selimut Kerucut = πrs

Berdasarkan luas selimut kerucut, maka dapat ditentukan luas seluruh permukaan kerucut, yaitu :
Luas permukaan kerucut = luas alas + luas selimut
                       = πr2 + πrs
                       = πr ( r + s )

B. VOLUME
Dengan melakukan percobaan dengan menggunakan tabung dan kerucut dengan panjang jari-jari alas sama dan tingginya sama, dimana kerucut itu tadi diisi dengan tepung sampai penuh, dan dituangkan ke dalam tabung tadi sampai penuh. Ternyata, Kerucut tersebut harus dituangkan sebanyak 3 kali hingga tabung penuh, sehingga dapat disimpulkan bahwa :

3V.kerucut = V.tabung

3V.kerucut = πr2t

V.kerucut = 1/3 πr2t

KERUCUT TERPANCUNG akan dibahas kapan-kapan ya... soalnya rumus pembuktiannya ribet kalo mesti ngetik di laptop... heheheee ^v^

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

LIMAS

Secara umum limas didefenisikan sebagai berikut :
Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak sebagai alas dan beberapa segitiga yang masing-masing beralaskan sebuah sisi segi banyak tadi dan semua segitiga itu bertemu pada satu titik.
Perhatikan gambar diatas!
T.ABCD adalah sebuah limas dengan :
a. bidang alas : ABCD
b. bidang tegak : TAD, TAB, TBC, dan TDC
c. titik puncak : T
d. garis tinggi (garis dari titik puncak yang tegak lurus bidang alas) : TE
e. rusuk alas : AB, BC, CD, dan AD
f. rusuk tegak : AT, BT, CT, dan DT.
Nama suatu limas ditentukan oleh bidang alasnya. Jika bidang alas limas berupa segi-n maka limas itu dinamakan limas segi-n dan jika garis tingginya melalui titik pusat bidang
alasnya maka limasnya disebut limas tegak.

LIMAS BERATURAN

Suatu limas disebut beraturan jika bidang alasnya merupakan segi banyak beraturan dan titik kaki garis tinggi berimpit dengan pusat bidang alas.
Adapun sifat-sifat dari limas beraturan :
1. rusuk-rusuk alasnya sama panjang
2. rusuk-rusuk tegaknya sama panjang
3. bidang-bidang tegaknya adalah segitiga sama kaki yang kongruen
4. Garis tingginya merupakan sumbu simetri putar, jika bidang alasnya berupa segi-n maka tingkat simetri putarnya sama dengan n.
5. Jika bidang alasnya berupa segi-n dengan n bilangan genap, maka limasnya mempunyai bidang simetri cermin sebanyak n.
Pada limas yang beraturan, garis tinggi sisi tegak yang ditarik dari puncak disebut apotema.

A. LUAS

Jumlah luas sisi suatu limas disebut luas permukaan limas. Jumlah luas bidang sisi-sisi tegak disebut luas selubung limas.

Luas permukaan limas = luas alas + luas selubung

dan jika limas itu beraturan, maka

Luas selubung limas = 1/2 x apotema x keliling bidang alas

Bukti :
 
Diketahui ET = FT = GT = HT =Apotema,sehingga :
Luas Segitiga ABT = ½ x AB x ET
Luas Segitiga BCT = ½ x BC x FT
Luas Segitiga CDT = ½ x DC x GT
Luas Segitiga DAT = ½ x DA x HT,
Sehingga luas selubung limas =
 = ½ (AB x ET + BC x FT + DC x GT + DA x HT)
 = ½ (AB + BC + DC + DA) x Apotema
 = ½ x keliling alas x Apotema

B. VOLUME

Perhatikan gambar berikut, T merupakan titik potong diagonal-diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.


Enam limas beraturan dalam kubus pada gambar (i) semuanya kongruen, jadi volumenya sama. Jika volum keenam limas beraturan itu = V, maka :
6V = volum kubus ABCD.EFGH
     = luas alas x BF
V  = 1/6 x luas alas x 2TT1
     = 1/3 x luas alas x TT1
     = 1/3 x luas alas x tinggi
Sehingga volum limas beraturan = 1/3 x luas alas x tinggi
Secara umum dapat dibuktikan, bahwa untuk semua limas berlaku :

Volum limas = 1/3 x luas alas x tinggi

LIMAS TERPANCUNG

Jika suatu limas dipotong oleh bidang datar yang sejajar dengan alas limas itu, maka bangun ruang antara bidang yang sejajar itu dinamakan limas terpancung.

Pada gambar diatas bangun ABCD.PQRS disebut limas terpancung. Bidang ABCD disebut bidang alas, bidang PQRS disebut bidang atas dan bidang-bidang lainnya disebut bidang sisi tegak.
Rusuk-rusuk yang terletak pada bidang alas disebut rusuk alas, rusuk-rusuk yang terletak pada bidang atas disebut rusuk atas dan rusuk-rusuk yang lain disebut rusuk-rusuk tegak.

Sifat-sifat limas terpancung :
1. Rusuk-rusuk bidang atas sejajar dengan rusuk-rusuk bidang alas
2. Sudut-sudut bidang atas sama dengan sudut-sudut bidang alas.
3. Bidang atas dan bidang alas sebangun
4. Sisi-sisi tegak limas terpancung berbentuk trapesium

Volume limas terpancung

Volum limas terpancung = 1/3 t (D + A + akar(DA) )
Di mana :  t  = tinggi
           D = luas bidang alas
           A = luas bidang atas

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

PRISMA

Prisma dalah suatu benda ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang potong memotong menurut garis-garis yang sejajar.
Pada gambar , adalah sebuah prisma. Bidang ABC disebut bidang alas, bidang DEF disebut bidang alas, dan bidang-bidang batas lainnya disebut bidang sisi tegak. Rusuk AC, AB, dan BC disebut rusuk-rusuk bidang alas, rusuk-rusuk DE, EF, dan DF disebut rusuk-rusuk bidang atas,dan rusuk-rusuk lainnya disebut rusuk tegak.
Bila bidang alas suatu prisma berupa segi n, maka prisma itu disebut prisma segi n. Jadi prisma pada gambar di atas disebut prisma segitiga.
a.       Jenis-jenis prisma
1.    Prisma tegak
Suatu prisma disebut prisma tegak, jika rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus dengan bidang alas. Sisi-sisi tegaknya berbentuk persegi panjang. lihat gambar dibawah bagian (i)
2.    Prisma Miring
Suatu prisma disebut prisma miring, jika rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang alas. sisi tegaknya berbentuk jajar genjang. lihat gambar dibawah bagian (ii)
3.    Prisma beraturan
Suatu prisma disebut prisma beraturan, jika prisma itu tegak dan bidang alasnya berupa segi banyak beraturan. sisi-sisi tegaknya berbentuk persegi panjang. lihant gambar (iii)
4.    Prisma epipedum
Prisma yang bidang alasnya berbentuk jajar genjang disebut pararel epipedum. lihat gambar (iv)

A.  LUAS
a.       Luas selubung prisma
Ke n sisi tegak suatu prisma segi n disebut selubung atau selimut prisma. Berikut akan dibuktikan bahwa luas selubung prisma tegak = keliling bidang alas dikalikan dengan panjang rusuk tegak.

Pada gambar disamping, prisma ABCDEFGH merupakan prisma tegak, maka sisi-sisi  tegaknya berbentuk persegi panjang.
Bila panjang rusuk tegak prisma itu = t, maka :
Luas ABFE = AB x t
Luas BCGF = BC x t
Luas DCGH = CD x t
Luas ADHE = AD x t
Luas selubung = (AB + BC + CD + AD) t  = keliling ABCD x t
Sehingga luas selubung prisma tegak = keliling bidang alas dikalikan panjang rusuk tegak.

b.       Luas permukaan prisma

Luas permukaan prisma dapat dihitung dengan rumus :
Luas permukaan prisma = A + B + S, dimana :
A  =  luas bidang atas
B  =  luas bidang bawah
S   =  luas selubung

B. VOLUME
Pada prisma, jarak antara bidang atas dengan bidang bawah disebut tinggi prisma, maka :
Volum Prisma = luas x tinggi

a.    Prisma Parallelepipedum Tegak
Volum Parallelepipedum-tegak ABCD.EFGH adalah
= volum balok siku-siku ABQP.EFRS
                = luas ABQP x BF
                = AB x BQ x BF
                = Luas ABCD x BF
                = luas dasar x tinggi

b.   Prisma sisi-3 Tegak
Sebuah prisma sisi-3 tegak ABCD.EFGH oleh bidang-diagonalnya BDHF di belah dua sama besar:
Volum prisma sisi-3 tegak  EFH/ABD = 1/2 volum prisma p.ep tegak EFGH/ABCD
  = 1/2 luas ABCD x BF
  = luas Δ ABD x BF
  = luas dasar x tinggi


c.       Prisma sisi-5 tegak
Volum prisma segi-5 tegak  PQRS/ABCD adalah:
= dijumlah volum-volum prisma sisi—3 tegak  ABE.PQT + BDE.QST + BCD.QRS
=  luas Δ ABE x BQ + luas ΔBDE x+ BQ + luas ΔBCD x BQ
= luas (ΔABE + Ð BDE + ΔBCD) x BQ
= luas ABCDE x tinggi
= luas dasar x tinggi

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

BALOK

Balok adalah himpunan titi-titik dimana ruang berdimensi tiga yang dibatasi oleh enam sisi yang masing-masing berbentuk persegi panjang. Keenam persegi panjang itu terdiri atas tiga pasang. Setiap pasangnya sejajar dan kongruen (sama dan sebangun). Perhatikan balok ABCD.EFGH. Balok ini mempunyai :
a.       8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H.
b.      6 sisi, yaitu ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, BCGF, dan ADHE
c.       12 rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH,  HF, AE, BF, CG, dan DH.
d.      12 diagonal bidang, yaitu AF, BE, DG, CH, AC, BD, EG, FH, BG, CF, AH, dan ED
e.      4 diagonal ruang, yaitu AG, CE, BH, dan DF.
Setiap titik sudut itu merupakan pertemuan tiga sisi yang saling tegak lurus satu sama lain. Balok juga mempunyai sifat bahwa keempat diagonal ruangnya bertemu pada suatu titik pusat. Titik pusat ini berjarak sama ke delapan titik sudutnya itu.

A.  LUAS

Jika kita lakukan penyayatan sepanjang rusuk-rusuk EA, HD, FB, GC, EH, FG dan HG, kita akan memperoleh jaring-jaring balok ABCD.
EFGH. Misalkan bahwa panjang rusuk-rusuk AB = a, AD = b, dan AE = c. Maka :


Luas permukaan balok = luas I + luas II + luas III + luas IV + luas V + luas VI
                                          = bc + ac + ab + ac + ab + bc
                                          = 2ab + 2ac + 2bc
                                          = 2 ( ab + ac + bc )

Maka untuk setiap balok berlaku rumus :
Luas permukaan balok = 2 ( ab + ac + bc )

B. VOLUME
Volum balok ABCD.EFGH yang tersusun dari 2 x 1 x 3 buah kubus AKLD.PQRS adalah:
                = 2 x 1 x 3 x AK x KL x KQ
                = 2 x AK x 1 x KL x KQ
                = AB x BE x BF
                =Luas ABCD x BF
                = Luas dasar x tinggi
atau

Volum balok = luas alas x tinggi
Dengan memperhatikan gambar 2.2, bahwa yang menjadi alas adalah bagun ke III atau ke V. Sedangkan yang menjadi tinggi dari kubus adalah rusuk c, maka :
Volum Balok = Luas III x tinggi
                       = ab  x  c
                       = abc

Maka untuk setiap balok berlaku rumus :
Volum Balok = abc

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

KUBUS

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bujur sangkar yang kongruen. Dengan kata lain, kubus merupakan balok yang yang seluruh rusuknya sama panjang. Sebagai akibat dari semua rusuknya sama panjang, maka kedua belas diagonal bidangnya sama panjang. Pehatikan kubus ABCD.EFGH. Kubus ini mempunyai :
a.       8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H;
b.      6 sisi yang kongruen, yaitu ABCD, EFGH,  ABFE, DCGH, BCGF, dan ADHE
c.       12 rusuk yang sama panjang , yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HF, AE, BF, CG, dan DH;
d.      12 diagonal sisi, yaitu AF, BE, DG, CH, AC,
e.      BD, EG, FH, BG, CF, AH, dan ED
f.     4 diagonal ruang, yaitu AG, CE, BH, dan DF.

A.  LUAS

Luas permukaan kubus adalah jumlah semua sisi suatu kubus. Untuk mendapatkan rumus luas permukaan sisi dari kubus, maka perhatikan jaring-jaring kubus dibawah ini :


Luas Kubus = 6 x (p x l)
Simetri pada kubus.
1)     Simetri cermin
Pada gambar , titik P,Q,R, dan S merupakan pertengahan rusuk-rusuk sejajar. Bidang yang melalui keempat titik itu disebut bidang pararel tengah.
Bila bagian kubus yang diarsir dicerminkan terhadap bidang PQRS maka akan menempati bagian-bagian kubus yang tidak diarsir, dan sebaliknya. Sehingga bidang pararel tengah suatu kubus disebut bidang simetri.
2)      Simetri putar
Pada gambar , garis l adalah garis yang melalui pusat bidang atas dan pusat bidang alas. Bila kubus itu diputar mengelilingi garis l sejauh 360, maka akan menempati kedudukannya sebanyak empat kali. Garis l disebut sumbu simetri putar tingkat empat. Banyaknya sumbu simetri jenis ini di kubus yaitu ada 3.

A.  VOLUME
Kubus adalah keadaan khusus dari balok yaitu balok dengan ukuran panjang, lebar, dan tinggi yang sama.
Vkubus  = p x l x t
 = a x a x a
             = a3

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

LINGKARAN

1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang khusus. Tiap titik pada lingkaran itu mempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran. Jarak titik pada lingkaran dengan pusat disebut jari-jari atau radius lingkaran. Garis tengah lingkaran disebut diameter. Panjang diameter  = 2 kali jari-jari. Panjang lingkaran disebut keliling lingkaran. Jari-jari (radius) biasnya dilambangkan dengan huruf “ r”. M = pusat lingkaran.


2. Perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.
Apabila panjang diameter dibandingkan dengan kelilingf suatu lingkaran, akan diperoleh panjang keliling antara 3 dan  4 kali panjang diameter. Rasio (perbandingan) ini dinyatakan dengan π. Notasi  π dibaca : “pi”.
Ditulis : K/d = π     atau K =πx d               dimana K = Keliling
                                      K =πx 2r                         d = diameter
                                       K = 2πr
Nilai π merupakan nilai pendekatan. Pendekatannya dilakukan dengan pembulatan. Dan pembulatannya dapat dua desimal, tiga desimal dan empat desimal.
Nilai adalah π = 3,14159…dibulatkan 3,142 atau 3,14
Dalam bentuk pecahan π= 22/7

3. Luas Daerah Lingkaran

Daerah yang dibatasi oleh lingkaran disebut daerah lingkaran.
Misalkan panjang jari-jari sebuah lingkaran 5 cm. dalam lingkaran itu dibuat bujur sangkar kecil yang luasnya 1cm persegi,seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Dengan menghitung banyaknya bujur sangkar kecil di dalam lin gkaran itu, ditentukan luas lingkaran sebagai berikut.
Lingkaran memuat: 17 buah bujur sangkar kecil yang utuh, dan 5 buah yang tidak utuh. Bila dijumlahkan, hasilnya kira-kira 19,5 buah.
Jadi, dalam lingkaran berjari-jari 5cm didapat 4 x 19,5 bujur sangkar kecil = 78 buah. 78 merupakan bilangan pendekatan. Dengan cara itu kita menemukan luas lingkaran sebagai berikut:
Jika jari-jarinya 5cm, diperoleh luas lingkaran:
                L/r2 = 78/25 = kira-kira 3,1 dimana kita ketahui bahwa 3,1 = π
Dengan formula, luas daerah lingkaran adalah
                 L/r2 = π       atau  L =πr2

4. Tali Busur

Pada gambar di atas, ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu lingkaran disebut tali busur. AB dan CD adalah tali busur. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut juga garis tengah atau diameter. Perlu diperhatikan ketentuan berikut ini:
a. Setiap garis tengah juga merupakan tali busur. Tetapi tidak setiap tali busur merupakan garis tengah.
b. Tali busur yang tidak melalui pusat selalu lebih kecil dari garis tengah.

5. Bagian-bagian lingkaran

Pada gambar di atas, O = merupakan pusat lingkaran. Garis lengkung dari A ke B disebut busur kecil. Garis lengkung dari M ke N (menurut arah putar jam) disebut busur besar. Daerah yang di batasi oleh dua njari-jari dan satu busur disebut juring. Daerah yang dibatsi oleh sebuah tali busur dan dan busur disebut tembereng. Ruas garis os adalah garis yang ditarik dari O tegak lurus pad tali busur PN disebut apotema.


6. Keliling dan Luas Lingkaran

K = 2πr
               L = πr2

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

TRAPESIUM

1. Pengertian Trapesium
Perhatikan gambar dibawah ini.
Dapatkah kamu menyebutkan nama bangun pada gambar di atas? Bangun segi empat itu hanya memiliki sepasang sisi sejajar. Jawabanmu benar jika bangun segi empat itu dinamakan trapezium.

Trapesium adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
Jika kalian perhatikan kembali trapesium ABCD pada gambar di atas, tampak bahwa AB || DC dan AD tidak sejajar BC. Dari trapesium tersebut, AB sebagai alas dan CE sebagai garis tinggi, serta AD dan BC sebagai kaki trapesium ABCD. Karena AB || DC maka diperoleh <A + D =180⁰ dan B + C = 180⁰.
2. Macam-Macam Trapesium
Trapesium dapat kita bedakan menjadi tiga macam, yaitu sebagai berikut.
3. Sifat-Sifat Trapesium Sama Kaki
Sesuai dengan namanya, trapesium sama kaki memilki kaki-kaki yang sama panjang. Pada bagian ini, kita akan membahas sifat-sifat trapesium sama kaki yang lain.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Misalnya ABCD trapesium sama kaki dengan AB||DC dan AD = BC. Dari C dan D, tariklah garis tegak lurus AB sehingga memotong AB dititik E dan F. karena AB||DC maka DE = CF dan EA = FB. Hal ini berarti  AED kongruen dengan BFC. Oleh karena itu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, A =B.
Dengan demikian kita peroleh sifat sebagai berikut.

Sudut-sudut alas trapesium sama kaki adalah sama besar.

Selanjutnya perhatikan trapesium sama kaki KLMN pada gambar di bawah ini.
Jika KLMN dibalik menurut garis I (sumbu simestri) maka M↔N, K↔L, dan MK↔NL sehingga MK = NL. Dengan demikian kita peroleh sifat sebagai berikut.

Diagonal-diagonal trapesium sama kaki adalah sama panjang
4. Keliling dan Luas Trapesium
Dalam menentukan keliling trapesium, caranya sama dengan menentukan keliling bangun datar lainnya, yaitu dengan menjumlahkan sisi-sisi yang membatasi bidang datar itu.
Pada bagian ini, kita akan menentukan luas trapesium, seperti pada ganbar dibawah ini.
Trapesium ABCD terdiri atas ABD dan BCD, kemudian di buat garis tinggi dari masing-masing segitiga tersebut. Pada ABD, dibuat garis tinggi DE dan pada  BCD dibuat garis tinggi BF.
Luas Trapesium ABCD    = Luas ABD + Luas BCD
                                        = 1/2 (AB x DE) + 1/2 (CD x BF)
                = 1/2 (AB + CD) x DE
               = 1/2 (a x b) x t
Pada uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu trapesium dengan dua sisi sejajarnya a dan b, dua sisi lainnya c dan d, serta tinggi t, keliling (K), dan luas (L) trapesium itu adalah sebagai berikut.
K = a + b+ c + d
L = 1/2 (a + b) x t

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS