Container Icon

LAYANG-LAYANG

01.43 | Label: ,

1. Pengertian Layang-layang
Misalkan ABC dan DEF masing-masing adalah segitiga sama kaki dengan panjang sisi alas AB=AD. Dengan mengimpitkan masing-masing alas segitiga sama kaki ABC dan DEF, dan bangun apakah yang kamu peroleh? Apakah kamu memperoleh bangun laying-layang? Perhatikan gambar berikut.
Dengan demikian,dapat disimpulkan sebagai berikut:
Layang-layang adalah segi empat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
2. Sifat-Sifat Layang-Layang
Untuk mengetahui sifat-sifat belah ketupat, peragakanlah kegiatan-kegiatan yang diberikan pada plastik atau kertas tipis. Perhatikan gambar di bawah ini:


Layang-layang ABCD dibentuk oleh dua segitiga sama kaki ABD dan CDB yang berimpit alasnya. Berdasarkan gambar di samping kita peroleh hal-hal berikut:
a. Karena ∆ ABD sama kaki maka AB=AD. Karena ∆ CDB juga sama kaki maka CB = CD. Dengan demikian, kita peroleh sifat sebagai berikut;                                                                                               
Layang-layang memiliki sisi-sisi yang sepasang-sepasang sama panjang.
b. Karena ABD sama kaki, < B1 = < D1
Karena CDB sama kaki, < B2 =  <D2
Kita perhatikan juga bahwa < B1 + < B2 = < B
                                                  < D1  + < D2 = < D
Sehingga diperoleh < B = < D
Dengan demikian, kita peroleh sifat sebagai berikut.
Layang-layang memiliki sisi-sisi yang sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
c. Karena AB = AD, CB = CD, dan < B = < D maka ∆ ABC kongruen dengan ∆ ADC. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa ∆ ADC adalah bayangan ∆ ABC oleh pencerminan terhadap AC. Dalam hal ini AC merupakan sumbu simestri. Dengan demikian kita peroleh sifat sebagai berikut:
Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri.
d. Dengan membalik layang-layang ABCD menurut AC maka
1. B↔D, O↔O dan OB↔OD sehingga OB = OD =  BD
2. AOB↔ AOD sehingga  AOB = AOD = 180/2 = 90⁰
COB↔ COD sehingga  COB = COD = 180/2 =90⁰
Dari (1) ke (2) maka AC tegak lurus BD dan OB = OD.
Dengan demikian kita peroleh sifat sebagai berikut.
Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu saling tegak lurus.

3. Mendefenisikan layang-layang Berdasarkan sifat-sifatnya
Dengan memperhatikan sifat-sifatnya, laying-layang dapat didefenisikan sebagai berikut.
a. Layang-layang adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisi yang berhadapan sama panjang.
b. Layang-layang adalah segi empat yang memiliki sepasang sudut berhadapan sama besar.
c. Layang-layang adalah segi empat yang salah satu diagonalnya merupakan sumbu simestri.
d. Layang-layang adalah segi empat yang salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonal yang lain dan kedua diagonalnya itu saling tegak lurus.

4. Keliling dan Luas Layang-layang

Keliling layang-layang dapat ditentukan dengan mudah, yaitu
Keliling = PQ + QR + RS + SP
                 = a + b + b +a = 2a + 2b = 2(a + b)
Kemudian, perhatikan bangun layang-layang PQRS pada gambar di samping. Layang-layang PQRS di bentuk dari dua segitiga sama kaki PQS dan QRS.
Luas PQRS = Luas ∆ PQS + luas ∆ QRS
= (1/2  x QS x PT) + (1/2 x QS x TR)
               = 1/2 x QS x (PT x TR)
= 1/2 x QS x PR
Jika diagonal QS = d1 dan diagonal PR = d2, diperoleh luas PQRS = 1/2 x d1 x d2.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika sisi pendek bangun layang-layang a, sisi panjangnya b, dan diagonalnya masing-masing d1 dan d2, keliling (K), dan luas (L) bangun layang-layang adalah sebagai berikut.
K = 2( a + b)
L = 1/2 x d1 x d2

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Marzhtienha

BELAH KETUPAT

01.23 | Label: ,

1. Pengertian Belah ketupat
Misalkan kita memiliki segitiga sama kaki ABC dengan AB sebagai alas. Kemudian, segitiga itu kita cerminkan dengan alasnya sebagai cermin.

Perhatikan gambar di atas, Akibat pencerminan itu A à A, B à B, C à D sehingga kita peroleh belah ketupat ADBC.Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:
Belah ketupat adalah segi empat yang dibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.

2. Sifat-sifat belah ketupat

Untuk mengetahui sifat-sifat belah ketupat, perhatikan gambar di atas. Belah ketupat PQRS dibentuk dari segitiga sama kaki PSR dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Berdasarkan pencerminan tersebut, kita peroleh hal-hal berikut:
a. PS akan menempati PQ dan RS akan menempatiRQ sehingga PS = PQ dan RS = RQ. Karena PSR segitiga sama kaki maka PS = RS. Oleh karena itu, PS = PQ dan RS = RQ.
Dengan demikian diperoleh sifat:
Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
b. Segitiga sama kaki PQR adalah bayangan segitiga sama kaki PSR jika dicerminkan terhadap PR. Dalam hal ini, PR adalah sumbu simetri. Akibatnya, sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga sama kaki PSQ dan segitiga sama kaki RSQ sama panjang atau segitiga sama kaki PSQ kongruen dengan segitiga sama kaki RSQ. Dalam hal ini, SQ adalah sumbu simetri. Perhatikan bahwa PR dan SQ adalah diagonal-diagonal belah ketupat PQRS.
Dengan demikian diperoleh sifat:
Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri
c. Karena PR adalah sumbu simetri, < S = < Q, < P1 = < P2, dan < R1 = < R2, Karena SQ adalah sumbu simetri maka < P = < R, < S1 = < S2, dan < Q1 = < Q2.
Dengan demikian diperoleh sifat:

Sudut yang berhadapan pada belah ketupat adalah sama besar dan terbagi menjadi dua sama besar oleh kedua diagonalnya.
d. Misalkan T adalah titik potong dari kedua diagonal PR dan SQ, segitiga PST kongruen dengan segitiga PQT. Karena merupakan sumbu simetri segitiga sama kaki SPQ maka      PST =    PTQ dan    ST =     QT. Karena      PTS +     PTQ = 180⁰,     PTS =     PTQ = 180⁰ : 2 = 90⁰ sehingga PT tegak lurus SQ dan PR tegak lurus SQ. Karena SQ sumbu simetri maka PT = RT dan RTS =   PTS = 90⁰.
Dengan demikian diperoleh sifat:

Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus.

3. Keliling dan Luas Belah Ketupat

Karena keempat sisi belah ketupat panjangnya sama, misalkan panjang sisi belah ketupat adalah a maka kelilingnya adalah
K = KL + LM + MN + NK
   = a + a + a + a
   = 4a
Perhatikan gambar. Misalkan KM = d1 dan NL = d2. Sesuai dengan sifat belah ketupat maka NO tegak lurus KM, LO tegak lurus KM, dan KO = MO. Hal itu berarti NO merupakan garis tinggi segitiga KNM dan LO merupakan garis tinggi segitiga KLM. Luas masing-masing segitiga adalah sebagai berikut:
Luas ∆ KNM =  1/2 x KM x NO = 1/2 x d1 x 1/2 x d2
Luas ∆ KLM = 1/2 x KM x LO = 1/2 x d1 x 1/2 x d2
Karena kedua segitiga itu membuntuk belah ketupat KLMN,
Luas belah ketupat KLMN = L ∆ KNM x L ∆ KLM
                                                    = (1/2 x d1 x 1/2 x d2 ) + (1/2 x d1 x 1/2 x d2 )
                                                    = 2 x ( 1/4 x d1 x d2 )
                                                    = 1/2 x d1 x d2
Jika panjang diagonal belah ketupat masing-masing d1 dan d2 serta panjang sisinya a maka, keliling (K) dan luas (L) belah ketupat adalah sebagai berikut:

K = 4 a
L = 1/2 x d1 x d2

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(2)
Diposting oleh Marzhtienha

JAJARGENJANG

01.05 | Label: ,

1. Pengertian Jajargenjang
Pada bangun segi empat yang merupakan jajargenjang tampak bahwa setiap pasang sisi yang berhadapan sejajar. Dengan demikian dapat disimpulkan sbb:
Jajargenjang adalah segi empat dengan setiap pasang sisi yang berhadapan.
2. Sifat-sifat Jajargenjang

Perhatikan jajargenjang PQRS jika diputar setengah putaran (180⁰) dengan pusat pemutaran titik O (tengah-tengah PR). Dari pemutaran tesebut, kita peroleh hal-hal berikut:
a. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu jajarangenjang adalah sama panjang dan sejajar.
b. Sudut-sudut yang berhadapan pada suatu jajargenjang adalah sama besar
c. Jumlah besar sudut dari pasangan sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 180⁰
d. Kedua diagonal dari suatu jajargenjang saling membagi dua sama panjang.

Dengan memperhatikan sifat-sifat jajargenjang diatas, kita dapat mendefinisikannya sbb:
a. Jajargenjang adalah segi empat yang sisi-sisi berhadapannya sama panjang dan sejajar
b. Jajargenjang adalah segi empat yang sudut-sudut berhadapannya sama besar
c. Jajargenjang adalah segi empat yang jumlah dua sudut berdekatannya sama dengan 180⁰
d. Jajargenjang adalah segi empat yang kedua diagonalnya saling membagi menjadi dua bagian sama panjang.
3. Keliling dan Luas Jajargenjang

Menentukan luas dan keliling jajargenjang pada dasarnya adalah menentukan jumlah panjang sisi-sisi yang membatasi bidang jajargenjang tersebut.

Berdasarkan gambar diatas, keliling jajargenjang KLMN adalah sbb
Keliling = KL + LM + MN + NK
              = a + b + a + b
              = 2a + 2b
              = 2 (a+b)
Jajargenjang tersebut diperoleh dari pemutaran ∆KLN dengan pusat O sejauh 180⁰ (setengah putaran) sehingga didapat ∆ LMN sebagai hasil pemutaran. Jadi kita dapat menyatakan bahwa jajargenjang KLMN adalah gabungan dua segitiga yang kongruen. Maka, pada gembar di atas, jika KL = a dan tinggi ∆KLN adalah t, luas ∆KLN adalah ½ x a t. Oleh karena itu, luas jajargenjang KLMN adalah
KLMN = 2 x luas ∆KLN
            = 2 x ½x a x t = a x t
Jadi , dapat disimpulkan bahwa 

K = 2(a + b)
L = a x t

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Marzhtienha

PERSEGI

00.47 | Label: ,

1. Pengertian Persegi

Gambar dibawah adalah persegi ABCD. Amatilah panjang setiap sisi dan besar setiap sudut persegi tersebut. Jika pengamatanmu benar, maka akan diperoleh sebagai berikut:
a) Sisi-sisi persegi ABCD sama panjang, yaitu AB = BC = CD = DA.
b) Sudut persegi ABCD sama besar yaitu 90⁰.

2. Sifat – Sifat Persegi

Untuk mengetahui sifat-sifat persegi, peragakanlah kegiatan-kegiatan berikut dengan menggunakan plastik atau kertas tipis.
Perhatikan Gambar 3.1. persegi ABCD dibalik menurut diagonal BD. Apa yang kamu katakan tenteng panjang sisi-sisinya?



Jika persegi ABCD dibalik menurut diagonal BD, diperoleh A ↔ C sehingga AB = CB……………(1)
Karena semua sifat persegi panjang juga merupakan sifat persegi, sisi-sisi yang berhadapan pada persegi adalah sama panjang. Jadi, AB = DC, dan CB = DA……………(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), kita peroleh AB = CB dan DA = DC.


Jadi semua sisi persegi adalah sama panjang


Selanjutnya, amatilah sudut-sudut persegi ABCD jika dibalik menurut diagonal BD. Berdasarkan hasil pembalikan tersebut, kita peroleh sudut ABD ↔ sudut CBD sehingga sudut ABD = sudut CBD dan sudut ADB = sudut CBD. Hal itu menunjukkan bahwa diagonal BD membagi dua sama besar sudut ABC dan sudut ADC. Demikian juga jika kita membalik persegi ABCD menurut diagonal AC, akan terlihat bahwa diagonal AC membagi dua sama besar sudut DAB dan sudut BCD.


Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.


Sekarang perhatikan persegi ABCD yang diputar sejauh seperempat putaran dengan titik O sebagai pusat putaran, pada gambar dibawah

Jika kita amati keadaan sudut-sudut pada perpotongan kedua diagonalnya maka diperoleh sbb:;
a. Sudut AOB ↔ sudut BOCsehingga sudut AOB = sudut BOC. Karena sudut AOB + sudut BOC = 180⁰, maka  sudut AOB = sudut BOC = 90⁰.
b. Sudut BOC ↔ sudut COD maka sudut BOC = sudut COD = 90⁰.
c. Sudut COD ↔ sudut DOA maka sudut COD = sudut DOA = 90⁰.
d. Sudut DOA ↔ sudut AOB maka sudut DOA = sudut AOB = 90⁰.


Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan dan tegak lurus.



3. Mendefinisikan Persegi Dari Hasil Pengamatan Sifat-sifatnya

Berdasarkan pengamatan yang telah kita lakukan, dapat disimpulkan :
a. Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi
b. Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara
c. Semua sisi persegi adalah sama panjang
d. Sudut-sudut suatu persegi adalah sama besar dan di bagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya
e. Diagonal-diagonal suatu persegi saling berpotongan dan tegak lurus



4.Keliling dan Luas Persegi

Pada dasarnya cara menentukan luas dan keliling persegi adalah sama denga menentukan luas dan keliling persegi panjang, namun keempat sisi persegi memiliki panjang yang sama. Oleh karena itu, keliling dan luas persegi dapat dirumuskan sbb



K = 4s
L = s x s =s²

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Marzhtienha

PERSEGI PANJANG

00.22 | Label: ,

1. Pengertian Persegi Panjang


Perhatikan persegi panjang pada gambar di bawah :

Gambar 2.1
Dengan memperhatikan persegi panjang pada gambar diatas, diperoleh hasil sbb :
a. Sisi-sisi persegi panjang ABCD adalah AB, BC, CD, dan DA dengan AB = CD dan BC = DA.
b. Sudut sudut persegi panjang ABCD adalah DAB, ABC, BCD, dan CDA. DAB = ABC = BCD = CDA = 90⁰.
Dengan demikian, dapat kita katakana bahwa unsur-unsur yang membangun persegi panjang adalah empat buah sisi dengan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan empat buah sudut siku-siku.

2.Sifat-sifat Persegi Panjang

Untuk mengetahui sifat-sifat persegi panjang, peragakanlah kegiatan-kegiatan yang diberikan pada plastik atau kertas tipis. Jika persegi panjang ABCD dibalik menurut sumbu vertikal , persegi panjang itu akan mem]nempati bingkainya seperti pada Gambar 9.8. Titik A akan menempati titik B, Titik B akan menempati titik A. ditulis  A↔B. Demikian juga kita dapatkan D↔C dan AD ↔BC. Hal ini berarti AD = BC.

Gambar 2.2
Selanjutnya, persegi panjan ABCD dibalik menurut sumbu horizontal sehingga menempati bingkainya seperti pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3
Kita dapatkan A↔D, B↔C, dan AB ↔ DC. Hal itu berarti AB = DC.
Perhatikan bahwa jarak AD dan BC selalu tetap, demikian juga dengan jarak AB dan BC. Oleh karena itu, AD sejajar BC dan AB sejajar DC.
Sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah sama panjang dan sejajar
Sekarang, kita akan menyelidiki panjang diagonal-diagonal persegi panjang. Baliklah persegi panjang ABCD dengan diagonal AC menurut sumbu vertical sehingga mendapati bingkainya kembali. Amatilah apa yang terjadi.


Gambar 2.4
Berdasarkan Gambar 2.4 , kita peroleh A↔B, D↔C, AC↔BD, sehingga AC = BD.
Selanjutnya, putarlah persegi panjang ABCD dengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotongan di titik O sejauh setengah putaran ( 180⁰ ). 
Gambar 2.5
Bagaimana besar sudut-sudut pada persegi panjang?  Dengan membalik persegi panjang ABCD menurut garis vertikal, maka persegi panjang itu dapat menempati bingkainya kembali seperti pada Gambar 2.5.
Gambar 2.6
Berdasarkan Gambar 2.6, kita peroleh bahwa DAB ↔ CBA dan  ADC = BCD. Oleh karena itu,  DAB = CBA dan ADC = BCD.
Selanjutnya, perhatikan Gambar 2.7 ! Dengan membalik persegi panjang ABCD menurut garis horizontal maka persegi panjang itu dapet menemp[ati kembali bingkainya.
Gambar 2.7
Berdasarkan gambar diatas, diperoleh bahwa DAB ↔  ADC,  CBA ↔ BCD sehingga  DAB =  ADC dan CBA = BCD. Akibatnya,  DAB = BCD = CBA. Jadi, semua sudut persegi panjang adalah sama besar, yaitu 90⁰.
Setiap sudut persegi panjang adalah sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90⁰).
3. Mendefinisikan Persegi Panjang dari Hasil Pengamatan Sifat-sifatnya
Berdasarkan hasil pengamatan yang telah kita lakukan sebelumnya, kita dapat mendefinisikan persegi panjang (dengan syarat minimal)sebagai suatu bangun segi empat yang memiliki sifat-sifat seperti berikut:

a.Dapat menempati bingkainya dengan empat cara;
b.Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar;
c.Diagonal-diagonalnya sama panjang;
d.Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90⁰)
Setiap sudut persegi panjang adalah sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90⁰).
4. Keliling dan Luas Persegi Panjang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau menggunakan kata luas dan keliling. Misalnya, seorang petani akan menanami areal tanahnya dengan bibit tertentu maka banyak bibit yang diperlukan tergantung pada luas tanah tersebut. Ketika tanah tersebut akan dipagar maka yang diperhitungkan adalah kelilingnya.
Perhatikan gambar di bawah!
Misalkan panjang satu petak menunjukkan satu satuan panjang dan luas satu petak menunjukkan satu satuan luas. Jika persegi panjang dengan panjang sisinya p satuan panjang dan l satuan panjang, maka keliling persegi itu adalah 2 x (p + l) satuan panjang, sedangkan satuan luasnya adalah p x l satuan luas.

Berdasarkan uraian diatas, rumus keliling dan luas dari persegi panjang adalah sebagai berikut.
Jika persegi panjang memiliki panjang p dan lebar l , keliling K dan luas L, berlaku


K = 2p + 2l = 2 (p + l)
L = p x l

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Marzhtienha
Langganan: Postingan (Atom)